图像复原与重建

1. 图像退化/复原

对一幅输入图像$f(x,y)$进行处理，得到一幅退化后的图像$g(x,y)$；给定退化函数$H$以及加性噪声项$\eta(x,y)$的一些知识后，图像复原的目的就是获得原始图像的一个估计$\tilde{f}(x,y)$。

如果$H$是一个线性的、位置不变的过程，退化为：

空间域中的退化	频率域中的退化
$g(x, y)=h(x, y) \circledast f(x, y)+\eta(x, y)$	$G(\mu, v)=H(\mu, v) F(\mu, v)+N(\mu, v)$

2. 噪声模型

噪声的空间特性是指噪声是否与图像相关；噪声的频率特性是指傅里叶域中噪声的频率内容，即相对于电磁波谱的频率。

除周期噪声外，本章中讨论的所有噪声均假设与空间坐标无关，且噪声与图像本身不相关（即像素值与噪声成分的值之间不相关）。

所谓周期噪声是在图像获取期间由电力或机电干扰产生的，是一种空间相关噪声，可通过频率域滤波来显著地减少。周期噪声的参数通常通过检测图像的傅里叶谱来估计，其趋向于产生频率尖峰。

当噪声的傅里叶谱是常量时，称为白噪声。

我们关心的是噪声成分$\eta (x,y)$中灰度值的统计特性，可以认为噪声是由概率密度函数表征的随机变量，以$z$表示灰度值，表示$\bar{z}$z 的均值，$σ$表示$z$的标准差。常见噪声概率密度函数有：

• 高斯噪声

  $$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-(z-\bar{z})^{2} / 2 \sigma^{2}}$$

• 瑞利噪声

  $$p(z)=\left\{\begin{array}{cc|c} \frac{2}{b}(z-a) \mathrm{e}^{-(z-a)^{2} / b}, & z \geqslant a & \bar{z}=a+\sqrt{\pi b / 4} \\ 0, & z<a & \sigma^{2}=\frac{b(4-\pi)}{4} \end{array}\right.$$

• 伽马噪声

  $$p(z)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{a^{b} z^{b-1}}{(b-1) !} \mathrm{e}^{-a z}, & z \geqslant a & \bar{z}=\frac{b}{a} \\ 0, & z<a & \sigma^{2}=\frac{b}{a^{2}} \end{array}\right.$$

• 指数噪声

  $$p(z)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{a^{b} z^{b-1}}{(b-1) !} \mathrm{e}^{-a z}, & z \geqslant a & \bar{z}=\frac{b}{a} \\ 0, & z<a & \sigma^{2}=\frac{b}{a^{2}} \end{array}\right.$$

• 均匀噪声

  $$p(z)=\left\{\begin{array}{cc|c} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant z \leqslant b & \bar{z}=\frac{a+b}{2} \\ 0 & \text { the others } & \sigma^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{12} \end{array}\right.$$

• 脉冲（椒盐）噪声

  $$p(z)=\left\{\begin{array}{cc} P_{a}, & z=a \\ P_{b}, & z=b \\ 1-P_{a}-P_{b}, & \text { the others } \end{array}\right.$$

3. 空间域滤波——只存在噪声的复原

当一幅图像中唯一存在的退化是噪声时，复原变为：

空间域	频率域
$g(x,y)=f(x,y)+\eta(x,y)$	$G(\mu,v)=F(\mu,v)+N(\mu,v)$

由于噪声项未知，从$g(x,y)$或$G(\mu,v)$中送去它们不现实。在仅存在加性噪声的情况下，可以选择空间滤波方法如下：

其中自适应滤波器的性能要优于其他所有滤波器，但代价是复杂度提高了。

• 均值滤波器
  • 算术均值滤波器：平滑一幅图像中的局部变化，虽然模糊了结果，但降低了噪声
  • 几何均值滤波器：其平滑效果可与算术均值相比较，但丢失了更少的图像细节
  • 谐波均值滤波器：关于处理高斯噪声这样的噪声，对于盐粒噪声效果较好，不适于胡椒噪声
  • 逆谐波均值滤波器：适合减少或消除椒盐噪声的影响
• 统计排序滤波器
  • 中值滤波器
  • 最大值滤波器：对于发现图像中的最亮点非常有用
  • 最小值滤波器：对于发现图像中的最暗点非常有用
  • 中点滤波器：最适用于处理随机分布的噪声，如高斯或均匀噪声
  • 修正的阿尔法均值滤波器：在包括多种噪声的情况下很有用，如混合有高斯和椒盐噪声的情况
• 自适应滤波器
  • 自适应局部降低噪声滤波器
  • 自适应中值滤波器

4. 频率域滤波——消除周期噪声

用频率域技术可有效地消除周期噪声的基本原理是，在傅里叶变换中，周期噪声在对应于周期干扰的频率处以集中的能量脉冲形式出现，可用一个选择性滤波器将其分离。

• 带阻滤波器

  

• 带通滤波器

• 陷波滤波器

  

• 最佳陷波滤波器

5. 估计退化函数

在图像复原时，主要有 3 种用于估计退化函数的方法：观察法、试验法、数学建模法。

使用某种方法估计的退化函数来复原一幅图像的过程，有时称为盲去卷积，因为真正的退化函数很难完全知晓。